康乃爾筆記｜一維位能井

科目　量子化學　　PROJECT　Particle in a Box　　筆記者　Peter Liao　　DATE　2026 / 06 / 20 1

一維無限深位能井　解題攻略

CUES

定態薛丁格方程

- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} = E ψ

邊界條件

ψ (0) = ψ (L) = 0

波函數

ψ_{n} = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}

能階

E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}

回想能量為何量子化？

回想零點能等於多少？

回想第

n

態節點數＝？

解題重點

n 量子數　E_n 能階　L 箱寬

例題一個電子關在寬

L = 1.0

nm 的位能井中，求基態能量

E_{1}

（eV）與

1 \to 2

躍遷能量

Δ E

。

代入能階公式： $E_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8 m L ^{2}}$
基態 $n = 1$ ： $E_{1} = \frac{( 6.626 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{8 ( 9.11 \times 1 0 ^{- 31} ) ( 1.0 \times 1 0 ^{- 9} ) ^{2}}$
得 $E_{1} = 6.02 \times 1 0^{- 20} J = 0.376 eV$
躍遷 $Δ E = E_{2} - E_{1} = 3 E_{1} = 1.13 eV$

⚠ 易錯：① 令

n = 0

會得

ψ \equiv 0

（非物理），故

n \geq 1

。② 能量正比

n^{2}

而非

n

，所以

E_{2} = 4 E_{1}

不是

2 E_{1}

。③ 最低能量非零，零點能

E_{1} > 0

。

SUMMARY

公式整合：

能階比

E_{1} : E_{2} : E_{3} = 1 : 4 : 9

（即

n^{2}

）；

E_{n} \propto 1/ L^{2}

，箱越小、能階越疏、能量越高。

口訣：箱小能高、

n

平方跳、最低非零。