量子化學 概念卡圖鑑
No. 001★★★★★
H^ψ=Eψ\hat{H}\psi = E\psi
薛丁格方程式Schrödinger equation
類型
本徵方程
角色
量子力學核心
解
波函數 ψ
本徵值
能量 E
決定量子系統波函數與能量的基本方程，定態形式為哈密頓算符作用於 ψ 等於能量乘 ψ。
關聯卡哈密頓算符波函數本徵值
量子化學・基礎
關聯題型：Q1、Q7
No. 002★★★★☆
En=n2h28mL2E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8mL^2}
一維位能井Particle in a box
量子數
n = 1,2,3…
零點能
E₁ > 0
節點數
n − 1
能量比
1 : 4 : 9
最簡單的束縛模型，邊界條件使能量量子化，能量正比於 n² 與 1/L²，箱越小能階越疏。
關聯卡薛丁格方程式零點能邊界條件
量子化學・模型
關聯題型：Q1、Q3
No. 003★★★★★
En=−13.6n2 eVE_n = -\dfrac{13.6}{n^2}\ \text{eV}
氫原子能階Hydrogen energy levels
基態
−13.6 eV
n = 2
−3.4 eV
游離能
13.6 eV
簡併
n² 重
單電子原子的精確能階，隨主量子數 n 增大而升高、間距變密，n→∞ 時趨於游離。
關聯卡波耳模型主量子數里德伯常數
量子化學・原子
關聯題型：Q6
No. 004★★★★☆
Ev=(v+12)ℏωE_v = \left(v+\tfrac12\right)\hbar\omega
量子諧振子Quantum harmonic oscillator
量子數
v = 0,1,2…
零點能
½ℏω
間距
等距 ℏω
應用
分子振動
描述分子振動的基本模型，能階等距、最低能量為零點能 ½ℏω，是紅外光譜的理論基礎。
關聯卡振動光譜零點能簡諧位能
量子化學・振動
關聯題型：Q8
No. 005★★★★☆
p^x=−iℏ∂∂x\hat{p}_x = -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}
動量算符Momentum operator
類型
微分算符
維度
一維 x
對易
[x,p] = iℏ
厄米性
可觀測量
把古典動量提升為量子算符，作用於波函數取空間微分，與位置算符不對易。
關聯卡位置算符對易關係哈密頓算符
量子化學・算符
關聯題型：Q4
No. 006★★★★★
Δx Δp≥ℏ2\Delta x\,\Delta p \geq \dfrac{\hbar}{2}
測不準原理Uncertainty principle
共軛量
x 與 p
下限
ℏ/2
後果
零點能存在
提出
海森堡 1927
位置與動量無法同時精確測定，乘積有下限，是量子世界不可消除的內稟限制。
關聯卡零點能波包共軛變數
量子化學・原理
關聯題型：Q2
No. 007★★★☆☆
λ=hp\lambda = \dfrac{h}{p}
德布羅意波長de Broglie wavelength
對象
所有物質
關係
λ ∝ 1/p
驗證
電子繞射
提出
1924
賦予物質粒子波動性，動量越大波長越短，是物質波概念與電子顯微鏡的理論起點。
關聯卡物質波波粒二象性電子繞射
量子化學・波動
關聯題型：Q5
No. 008★★★☆☆
P(x)=∣ψ(x)∣2P(x) = |\psi(x)|^2
機率密度Probability density
意義
找到粒子機率
性質
非負
歸一化
∫P dx = 1
提出
born 詮釋
波函數平方給出粒子在各處出現的機率密度，波恩詮釋讓抽象的 ψ 連上可測量的實驗結果。
關聯卡波函數歸一化波恩詮釋
量子化學・詮釋
關聯題型：Q5